​定积分计算的国王法

定积分计算的国王法

这里我们所说的“国王法”其实是一个简单的线性变换。似乎它简单得不值一提，但我们觉得这可能是一个挺有用的方法。在英文文献里称之为“King Rule”或者“King’s Property”。我们不知道这个名称的来源，只能按字面意思翻译成“国王法”。

给定一个定积分

，国王法说的是：

容易看出，这个公式可以通过线性变换

得到

下图是示意图。

当a=0，国王法可以简化成：

我们来看一个具体的例子：计算

这是2018年印度工学院入学考试（Joint Entrance Examination）的一道题。记

运用国王法得到

将两式相加就得到

于是所求积分的值是π/4

.

如果在上图中函数f(x)

是关于过a

和b

的中点x=(a+b)/2

的垂直直线对称的，那么有

我们再来看一个例子：计算积分

首先，利用国王法得到

将上面二式相加得到

注意到在(0,π)上函数lnsin(x)关于中点x=π/2

是对称的，所以有

做一个简单的变换就容易看出，

将上面两式子相加得到，

再利用三角函数的性质

和一个简单的线性变换，我们最后可以得到

即

最后让我们留下三道题。第一道题可以让我们看到国王法的力量。对任意的正整数n

，计算定积分

读者可能会注意到，上面的几个例子全部与三角函数有关。

我们最后看两个其他的习题。

计算定积分

计算定积分

三个积分答案分别为：